В древности Азовское море называлось у греков Меотийское озеро, у римлян Palus Maeotis, у скифов Каргалук, у меотов Темеринда (что значит «мать моря»); далее у арабов Нитшлах или Бахр аль-Азуф, у турок Бахр эль-Ассак или Бахр-ы Ассак (Тёмно-синее море; совр. тур. Azak Denizi), у генуэзцев и венецианцев Mare delle Zabacche (Mare Тане).

Море переименовывалось многократно (Самакуш, Салакар, Майутис и т. п.) . В начале XIII в. утверждается название Саксинское море. Татаро-монгольские завоеватели пополнили коллекцию имён Азова: Балык-денгиз (рыбное море) и Чабак-денгиз (чабачье, лещевое море) .

По некоторым данным Чабак-денгиз в результате трансформации: чабак — дзыбах — забак — азак — азов — произошло современное название моря (что сомнительно). 

По другим данным азак — тюркское прилагательное, означающее низкий, низменный, по другим данным, азак (тюркское устье реки) , которое трансформировалось в Азау,  а затем в русское Азов. 

В промежутке вышеуказанных названий море получало ещё и следующие: 

• Барэль-Азов (Темно-синяя река);
• Фракийское море (под фракийцами понимались генуэзцы и венецианцы);
• Сурожское море (Сурожем назывался современный город Судак в Крыму);
• Каффское море (Каффа — итальянская колония на месте современного города Феодосия в Крыму);
• Киммерийское море (от киммерийцев);
• Акденгиз (турецкое, означающее Белое море).

Наиболее достоверно, что современное название моря происходит от города Азова. 

По этимологии слова «азов» существует ряд гипотез: по имени половецкого князя Азума (Азуфа), убитого при взятии города в 1067 г.; по названию племени осов (ассы), в свою очередь происшедшего будто бы от авестийского, означающего «быстрый»; сопоставляют название и с тюркским словом азан — «нижний», и черкесским узэв — «горловина».

Тюркское название города Азов — Аузак. Но ещё в I в. н. э. Плиний, перечисляя в своих трудах скифские племена, упоминает племя асоки, сходное со словом азов. Принято считать, что современное название Азовского моря пришло в русскую топонимию в начале XVII в. благодаря летописи Пимена. 

Причём в начале оно закрепилось только за его частью (Таганрогский залив), лишь во время Азовских походов Петра I название Азовское море закрепилось за всем водоёмом. Море дало название станицам Азовской и Приазовской и городу Азов (в низовьях реки Дон, Ростовская область), посёлку Приазовскому и хутору Азовка.

https://otvet.mail.ru